なぜラムはウォッカのような他のアルコールと同じように蒸留の影響を受けないのでしょうか？

ラム酒の蒸留には何の違いもありません。ウイスキー、ブランデー、ウォッカなどと同じように、蒸留器から砂糖が出てくることはありません。

ラム酒業界でよく起こることは、エリックの回答にあるように、蒸留後にラム酒に砂糖を加えることです。ラム酒と生産者がどこから砂糖を調達しているかにもよりますが、砂糖が添加されている場合、このようなことが起こる可能性はわずかにあります。

添加糖の可能性を避けたい場合は、バルバドス産のFoursquareやマルティニーク産のラム・アグリコルなど、添加糖を使用していないブランドをターゲットにすることができます（マルティニーク産のAOCを使用して製造されたラム酒には添加糖は違法となります）。

予備知識がないのでググってみました。こちらのサイトとこちらの他のサイトによると、砂糖は蒸留を通過しないそうです。ただ、ラム酒では蒸留後に砂糖を入れることが多いようです。